Bất đẳng thức

[light_future96]

1.Cho a,b>0, a+b=1. Chứng minh
\[\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2} \geq \frac{161}{16}\]
2.Cho \[x,y\geq 0,x+y\leq \]1.Chứng minh
\[\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\geq 11\]
3.Cho a,b,c >0. chứng minh
\[\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}\]

 

[light_future96]

1.Cho a,b>0, a+b=1. Chứng minh
\[\frac{2}{ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2} \geq \frac{161}{16}\]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với
\[\frac{3}{2ab}+\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}+\frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{161}{16}(*)\]
Áp dụng BĐT \[ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\]ta có
\[ab\leq \frac{1^2}{4}\]
\[\Rightarrow \frac{3}{2ab}\geq 6(1)\]
Áp dụng BĐT \\[\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\geq \frac{4}{a+b}\]ta có
\[\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq \frac{4}{(a+b)^2}\]
\[\Rightarrow \frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\geq 4(2)\]
Áp dụng BĐT a\[^4+b^4\geq \frac{(a+b)^4}{8}\]
\[\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{1}{16}(3)\]
Cộng vế vs vế của (1)(2)(3)Ta đc BĐT (*)
Vậy là BĐT đc chứng minh

 

[bomkute1996th]

2.Cho \[x,y\geq 0,x+y\leq \]1.Chứng minh
\[\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}+4xy\geq 11\]

Dễ chứng mik:\[\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\geq \frac{4}{(A+B)}
\]
Dấu bằng xảy ra\[\Leftrightarrow x=y\]
Lại có:\[{(x+y)}^{2}\geq 4xy
\Rightarrow \frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{{(x+y)}^{2}}\geq 1
\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq 5\]
Ta có:\[A={1}^{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy
=(\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{2xy}+\frac{5}{4xy}+(\frac{1}{4xy}+4xy)
\geq \frac{4}{{(x+y)}^{2}}+5+2
\Leftrightarrow A\geq 11(đpcm)\]
Dấu bằng xảy ra\[=(\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{2xy}+\frac{5}{4xy}+(\frac{1}{4xy}+4xy)
\geq \frac{4}{{(x+y)}^{2}}+5+2
\Leftrightarrow A\geq 11\]x=y=0,5

 

[light_future96]

3.Cho a,b,c >0. chứng minh
\[\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}\]

Bất đẳng thức đã cho tương đương vs:
\[\frac{abc+1}{a(b+1)}+\frac{abc+1}{b(c+1)}+\frac{abc+1}{c(a+1)}\geq 3\]
\[\Leftrightarrow \frac{abc+1+ab+a}{a(b+1)}+\frac{abc+1+bc+c}{b(c+1)}+\frac{abc+1+ca+c}{c(a+1)}\geq 6\]
\[\Leftrightarrow \frac{ab(c+1)+1+a}{a(b+1)}+\frac{bc(a+1)+1+c}{b(c+1)}+\frac{ac(b+1)+1+c}{c(a+1)}\geq 6\]
\[\Leftrightarrow \frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{a+1}{a(b+1)}+\frac{c(a+1)}{c+1}+\frac{b+1}{b(c+1)}+\frac{a(b+1)}{a+1}+\frac{c+1}{c(a+1)}\geq 6\]
Áp dụng BDT \[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2 \]
\[\frac{b(c+1)}{b+1}+\frac{b+1}{b(c+1)}\geq 2\]
các BDT còn lại chứng minh tương tự
rồi cộng lại là ra

 

[light_future96]

Dễ chứng mik:\[\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\geq \frac{4}{(A+B)}
\]
Dấu bằng xảy ra\[\Leftrightarrow x=y\]
Lại có:\[{(x+y)}^{2}\geq 4xy
\Rightarrow \frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{{(x+y)}^{2}}\geq 1
\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq 5\]
Ta có:\[A={1}^{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy
=(\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{2xy}+\frac{5}{4xy}+(\frac{1}{4xy}+4xy)
\geq \frac{4}{{(x+y)}^{2}}+5+2
\Leftrightarrow A\geq 11(đpcm)\]
Dấu bằng xảy ra\[=(\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{2xy}+\frac{5}{4xy}+(\frac{1}{4xy}+4xy)
\geq \frac{4}{{(x+y)}^{2}}+5+2
\Leftrightarrow A\geq 11\]x=y=0,5

Dễ chứng mik:\[\frac{1}{A}+\frac{1}{B}\geq \frac{4}{(A+B)}\]

Dấu bằng xảy ra\[\Leftrightarrow x=y\]
Lại có:\[{(x+y)}^{2}\geq 4xy\]
\[\Rightarrow \frac{1}{4xy}\geq \frac{1}{{(x+y)}^{2}}\geq 1\]
\[\Rightarrow \frac{5}{4xy}\geq 5\]
Ta có:\[A={1}^{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{xy}+4xy\]
\[=(\frac{1}{{x}^{2}+{y}^{2}}+\frac{2}{2xy}+\frac{5}{4xy}+(\frac{1}{4xy}+4xy)\]
\[\geq \frac{4}{{(x+y)}^{2}}+5+2\]
\[\Leftrightarrow A\geq 11\](đpcm)