Bất đẳng thức- xin nhờ mọi người giúp !!!!!!!!

[anhdao]

chứng minh rằng, với mọi a,b,c ko âm, sao cho :
\[\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = 2\] .
ta luôn có : abc nhỏ hơn hoặc bằng \[\frac{1}{8}\].
mọi người giúp em với. em cám ơn nhiều !:byebye:
(kí hiệu nhỏ hơn hoặc bằng viết ntn ấy nhỉ ???_

 

[Maihoaca]

chứng minh rằng, với mọi a,b,c ko âm, sao cho :
\[\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = 2\] .
ta luôn có : \[abc\leq\frac{1}{8}\].

Có:\[\frac{1}{a+1} + \frac{1}{b+1} + \frac{1}{c+1} = 2\]

==>\[\frac{1}{a+1}=2-\frac{1}{b+1}-\frac{1}{c+1}=1-\frac{b+1}+1-\frac{1}{c+1}=\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 2.sqrt{\frac{bc}{(b+1)(c+1)}}\]

CMTT có:
\[\frac{1}{b+1}\geq 2sqrt{\frac{ac}{(a+1)(c+1)}}\]

\[\frac{1}{c+1}\geq 2 sqrt{\frac{ab}{(a+1)(b+1)}}\]

nhân vế với vế có:

\[\frac{1}{a+1}\frac{1}{b+1}\frac{1}{c+1}\geq 8.sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{(a+1)^2(b+1)^2(c+1)^2}}=8.\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}\]

==> \[abc\leq \frac{1}{8}\]

Dấu "=" xảy ra <=> \[\left{\begin{a+1=b+1}\\{b+1=c+1}\\{c+1=a+1}\\ \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2 \]

\[===>\] \[a=b=c=\frac{1}{2} \]

 

[Maihoaca]

Nếu bạn học đạo hàm rùi thì tớ nghĩ có thể làm = công cụ hàm số
xét hàm số \[f(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{2}{3}=\frac{1-2t}{1+t}==>f'(t)=\frac{-3}{(t+1)^2}<0\]

Có Bảng biến thiên

​

thấy \[f(t)>0\] \[==>\] \[\frac{1}{1+t}>\frac{2}{3}\] \[===>\]\[t <\frac{1}{2}\]
==>\[a<1/2\]
\[b<\frac{1}{2}\]
\[ c<\frac{1}{2}\]
===>\[abc<\frac{1}{8}\]

 

[tranhieu892005]

Maihoaca giỏi quá ta

 

[anhdao]

chuyện
maihoaca mà !!!!!!! hihi