Bất đẳng thức- lớp 10

[anhdao]

các bạn ơi làm giúp mình bài này với, theo cách của lớp 10 nha!
bài1: cho a,b,c > 0, sao cho : ab+bc+ca = 3
c/m rằng:
\[\sqrt{{a}^{6}+{b}^{6}+1} +\sqrt{{c}^{6}+{b}^{6}+1} +\sqrt{{a}^{6}+{c}^{6}+1} \geq 3\sqrt{3}\]

bài 2: chứng minh rằng :
\[\frac{{b}^{3}+{c}^{3}}{a} + \frac{{a}^{3}+{c}^{3}}{b} + \frac{{a}^{3}+{b}^{3}}{c} \geq 2(ab+bc+ac) \]
với mọi a,b,c khác 0.
cám ơn nhiều !!!!!:byebye:

 

[gaconti14]

Bài 1: để dành cho Anh NguoiDien
Bài 2:
VT=\[(\frac{{b}^{3}}{a}+\frac{{a}^{3}}{b})+(\frac{{b}^{3}}{c}+\frac{{c}^{3}}{b})+(\frac{{c}^{3}}{a}+\frac{{a}^{3}}{c})\]
=\[\frac{{b}^4+{a}^4}{ab}+\frac{{b}^4+{c}^4}{bc}\]\[+\]\[\frac{{a}^4+{c}^4}{ac}\]

Áp dụng bất đẳng thức cauchi(lớp 10 có chưa ta?)
=>VT\[\geq 2\frac{({ab})^2}{ab}+2\frac{({bc})^2}{bc}+2\frac{({ac})^2}{ac}\]
\[\geq 2(ab+bc+ac)\](đpcm)

 

[anhdao]

thắc mắc ?????????

Bài 1: để dành cho Anh NguoiDien
Bài 2:
VT=\[(\frac{{b}^{3}}{a}+\frac{{a}^{3}}{b})+(\frac{{b}^{3}}{c}+\frac{{c}^{3}}{b})+(\frac{{c}^{3}}{a}+\frac{{a}^{3}}{c})\]
=\[\frac{{b}^4+{a}^4}{ab}+\frac{{b}^4+{c}^4}{bc}\]\[+\]\[\frac{{a}^4+{c}^4}{ac}\]

Áp dụng bất đẳng thức cauchi(lớp 10 có chưa ta?)
=>VT\[\geq 2\frac{({ab})^2}{ab}+2\frac{({bc})^2}{bc}+2\frac{({ac})^2}{ac}\]
\[\geq 2(ab+bc+ac)\](đpcm)

lời giải của gaconti14 cũng hay đấy. nhưng có một điều em thắc mắc là sao các thầy dạy em rằng cô-si chỉ áp dụng cho số dương thôi, ở đây là số thực thì sao được áp dụng ạ ?????????????:haha:

 

[NguoiDien]

các bạn ơi làm giúp mình bài này với, theo cách của lớp 10 nha!
bài1: cho a,b,c > 0, sao cho : ab+bc+ca = 3
c/m rằng:
\[\sqrt{{a}^{6}+{b}^{6}+1} +\sqrt{{c}^{6}+{b}^{6}+1} +\sqrt{{a}^{6}+{c}^{6}+1} \geq 3\sqrt{3}\]

bài 2: chứng minh rằng :
\[\frac{{b}^{3}+{c}^{3}}{a} + \frac{{a}^{3}+{c}^{3}}{b} + \frac{{a}^{3}+{b}^{3}}{c} \geq 2(ab+bc+ac) \]
với mọi a,b,c khác 0.
cám ơn nhiều !!!!!:byebye:

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số \[a^6, b^6\] và \[1\] thì ta có:

\[a^6+b^6+1\geq 3\sqrt[3]{a^6.b^6.1}=3a^2b^2\]

Do \[a^6+b^6+1\geq 1\] nên ta có:

\[\sqrt{a^6+b^6+1}\geq \sqrt{3a^2b^2}=ab\sqrt{3}\qquad (1)\]

Tương tự ta cũng có:

\[\sqrt{b^6+c^6+1}\geq \sqrt{3b^2c^2}=bc\sqrt{3}\qquad (2)\]

\[\sqrt{a^6+c^6+1}\geq \sqrt{3a^2c^2}=ac\sqrt{3}\qquad (3)\]

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:

\[VT\geq (ab+bc+ca)\sqrt{3}=3\sqrt{3}\] (do giả thiết \[ab+bc+ca=3\])

 

[gaconti14]

lời giải của gaconti14 cũng hay đấy. nhưng có một điều em thắc mắc là sao các thầy dạy em rằng cô-si chỉ áp dụng cho số dương thôi, ở đây là số thực thì sao được áp dụng ạ ?????????????:haha:

...
Bạn nói \[{a}^{4}\], \[{b}^{4}\] và \[ c^{4}\] là số dương hay âm @@
Trừ phi a thuộc C (tập hợp số phức)

 

[anhdao]

...
Bạn nói \[{a}^{4}\], \[{b}^{4}\] và \[ c^{4}\] là số dương hay âm @@
Trừ phi a thuộc C (tập hợp số phức)

A! em hiẻu rùi, hoá ra là chỉ cô-si cho tử số thôi. lúc đầu em tưởng là cô-si cho cả phân số. hi` vậy thì quá đúng rùi. em cảm ơn gaconti14 nhiều nha :byebye:!!!!!

 

[anhdao]

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số \[a^6, b^6\] và \[1\] thì ta có:

\[a^6+b^6+1\geq 3\sqrt[3]{a^6.b^6.1}=3a^2b^2\]

Do \[a^6+b^6+1\geq 1\] nên ta có:

\[\sqrt{a^6+b^6+1}\geq \sqrt{3a^2b^2}=ab\sqrt{3}\qquad (1)\]

Tương tự ta cũng có:

\[\sqrt{b^6+c^6+1}\geq \sqrt{3b^2c^2}=bc\sqrt{3}\qquad (2)\]

\[\sqrt{a^6+c^6+1}\geq \sqrt{3a^2c^2}=ac\sqrt{3}\qquad (3)\]

Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có:

\[VT\geq (ab+bc+ca)\sqrt{3}=3\sqrt{3}\] (do giả thiết \[ab+bc+ca=3\])

ÔI ! lúc đầu em cũng có ý tưởng dùng cô-si, nhưng chưa biến đổi đúng hướng nên mãi chẳng ra. em cám ơn nguoidien nhiều nha !!!!!! :big_smile:

 

[NguoiDien]

...
Bạn nói \[{a}^{4}\], \[{b}^{4}\] và \[ c^{4}\] là số dương hay âm @@
Trừ phi a thuộc C (tập hợp số phức)

Chưa chuẩn lắm đâu Gaconti14.

\[a^4+b^4\geq 2a^2b^2\] nhưng chưa chắc \[\frac{a^4+b^4}{ab}\geq \frac{2a^2b^2}{ab}\] đâu nhé. Còn phụ thuộc dấu của \[ab\] nữa đấy. Gaconti14 nghiên cứu lại lời giải chỗ này.

 

[gaconti14]

Chưa chuẩn lắm đâu Gaconti14.

\[a^4+b^4\geq 2a^2b^2\] nhưng chưa chắc \[\frac{a^4+b^4}{ab}\geq \frac{2a^2b^2}{ab}\] đâu nhé. Còn phụ thuộc dấu của \[ab\] nữa đấy. Gaconti14 nghiên cứu lại lời giải chỗ này.

Ừm đúng như anh nguoidien nói còn dấu mẫu nữa chẹp để xem lại @@

 

[toanhoclaso1]

hay quá ,em thật khâm phục

 

[danceDJ]

mấy anh chị giải hay thật.. em phục xác đất luôn ấy...:single_eye: