Bài toán về phương trình và hệ phương trinh

[thuylinh909]

Giúp tớ bài toán về phương trình và hệ phương trinh

Các bạn ơi hộ tớ bài này với tớ đang cần gấp. thanks nha

Bài 1:Cho pt \[({x}^{2}-1)(x+3)(x+5)=m\]

Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn:

\[\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+\frac{1}{{x}_{3}}+\frac{1}{{x}_{4}}=1\]

Bài 2 :Tìm x,y,z là các số tự nhiên thỏa mãn:

\[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=1\]

Bài 3 :Cho \[f(x)=a{x}^{2}+bx+c\] (a#0)

m # n thỏa mãn : m+n+m.n=2002

f(m)=f=-2003a

Tính giá trị a-b+c

 

[Pully]

Bài 1:Cho pt \[({x}^{2}-1)(x+3)(x+5)=m\] (1)

Tìm m để pt có 4 nghiệm phân biệt x1, x2, x3, x4 thỏa mãn:

\[\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+\frac{1}{{x}_{3}}+\frac{1}{{x}_{4}}=1\]

\[(1) \Leftrightarrow (x-1)(x+5)(x+1)(x+3)=m \Leftrightarrow (x^2+4x-5)(x^2+4x+3)=m\]

Đặt \[x^2+4x+4=y \geq 0\]

Khi này (1) trở thành \[(y-9)(y-1)=m \Leftrightarrow y^2 -10y + (9-m)=0\] (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm y dương phân biệt.

Với \[{y}_{1}\] và \[{y}_{2}\] là hai nghiệm của (2):

\[\left\{\begin{matrix} \Delta'=25-(9-m)>0 \\ S={y}_{1}+{y}_{2}=10>0 \\ P={y}_{1} {y}_{2}=9-m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow -16 < m < 9\]

Giả sử \[{x}_{1}\] và \[{x}_{2}\] là hai nghiệm của phương trình \[(x+2)^2={y}_{1} \Leftrightarrow x^2 + 4x + (4-{y}_{1}) = 0\]

Theo hệ thức Viete ta có: \[{x}_{1}+{x}_{2}=-4\] và \[{x}_{1} {x}_{2}=4-{y}_{1}\].

Tương tự ta cũng được \[{x}_{3}+{x}_{4}=-4\] và \[{x}_{3} {x}_{4}=4-{y}_{2}\].

Theo đề:

\[\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+\frac{1}{{x}_{3}}+\frac{1}{{x}_{4}}=1 \\ \Leftrightarrow \frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1} {x}_{2}} + \frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{{x}_{3} {x}_{4}} = 1 \\ \Leftrightarrow \frac{4}{{y}_{1}-4}+\frac{4}{{y}_{2}-4}=1 \\ \Leftrightarrow \frac{4({y}_{2}-4)+4({y}_{1}-4)}{({y}_{1}-4)({y}_{2}-4)}=1 \\ \Leftrightarrow 4({y}_{1}+{y}_{2})-32={y}_{1} {y}_{2} - 4({y}_{1}+{y}_{2}) + 16 \\ \Leftrightarrow 4.10-32=(9-m)-4.10+16 \\ \Leftrightarrow m=-23\]

Với giá trị này của m thì không thỏa mãn điều kiện để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

 

[bomkute1996th]

2.Giả sử \[x\geq y\geq z\geq 1\]

\[\Rightarrow \frac{1}{x}\leq \frac{1}{y}\leq \frac{1}{z};\frac{1}{xyz}\leq\frac{1}{z}\]

\[\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz} \leq\frac{4}{z}\]

\[\Leftrightarrow 1\leq \frac{4}{z}\]


\[\Leftrightarrow z\leq 4\]


\[\Rightarrow 1\leq z\leq 4\]

Mà z tự nhiên nên z thuộc 1 trong các giá trị 1;2;3;4

Sau đó thay z vào ta tìm đc x,y tương tự như cách làm trên.

 

[Pully]

@bomkute1996th: tớ cũng nghĩ như cậu, vừa làm ra lúc sáng và định post lên nhưng cậu post mất rồi.

Tớ góp ý một chút nha.

Nhận xét thấy cả x, y, z đều lớn hơn 1 (một trong ba số x, y, z mà nhỏ hơn hoặc bằng 1 thì vế trái lớn hơn 1).

Do đó ta có được điều kiện \[2 \leq z \leq 3\]

Sẽ ít trường hợp hơn một chút ^^

Đáp án là (2; 3; 7) phải không nhỉ

 

[bomkute1996th]

@bomkute1996th: tớ cũng nghĩ như cậu, vừa làm ra lúc sáng và định post lên nhưng cậu post mất rồi.

Tớ góp ý một chút nha.

Nhận xét thấy cả x, y, z đều lớn hơn 1 (một trong ba số x, y, z mà nhỏ hơn hoặc bằng 1 thì vế trái lớn hơn 1).



Do đó ta có được điều kiện \[2 \leq z \leq 3\]

Sẽ ít trường hợp hơn một chút ^^

Đáp án là (2; 3; 7) phải không nhỉ

Cảm ơn cậu ^^Còn đáp án mik hok có thời gian để qiải cụ thể,thông cảm nha

 

[Pully]

Bài 3 :Cho \[f(x)=a{x}^{2}+bx+c\] (a#0)

m # n thỏa mãn : m+n+m.n=2002

f(m)=f=-2003a

Tính giá trị a-b+c

* \[f(m)=f=-2003a \]

\[\Leftrightarrow am^2+bm+c=an^2+bn+c=-2003a\]

\[\Leftrightarrow a(m^2-n^2)+b(m-n)=0\]

\[\Leftrightarrow (m-n)(am+an+b)=0\]

\[ \Leftrightarrow am+an+b=0 \: (m \neq n)\]

\[\Leftrightarrow a(m+n)=-b\]



* \[m+n+m.n=2002 \]

\[\Leftrightarrow a(m+n) + amn=2002a \: (a \neq 0)\]

\[\Leftrightarrow a - b +amn=2003a\]

\[\Leftrightarrow a-b=-am^2-bm-c-amn\]

\[\Leftrightarrow a-b+c=-m(am+b+an)=0\]


Vậy \[a-b+c=0\]

 

[thuylinh909]

Mình vừa post lên thì đã làm đc rồi nhưng dù sao cũng thanks các bạn ha cách làm của các bạn cũng đúng đó mình cũng làm vậy nè

 

[HarMoNiKa_CKJ]

cam on cac ban rat nhieu. chuc cac ban thanh cong va gap nhieu may man.....