Bài toán hình khó! help me

[dinhngocbich96]

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là trung điểm của AC; vẽ đường tròn tâm I đường kính MC, cắt đường tròn tâm O tại D, cắt BC tại N..
a, chứng minh tứ giác ABNM nội tiếp được đường tròn.
b, Chứng minh B, M, D thẳng hàng.
c, Gọi bán kính đường tròn tâm O là R, bán kính đường tròn tâm I là r; Giao của OI và AB là E. Tính EM theo R và r

 

[Võ Long Trường]

Nếu tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp thì góc MNB + góc MAB = 180˚, trong đó góc MNB = 90˚. Vậy góc MAB = 90˚, tức tam giác ABC phải là tam giác vuông tại A.

Câu a.
Góc MNC = 90˚, vì là góc chắn nửa đường tròn tâm I, vậy góc MNB = 90˚. Lại có góc MAB = 90˚. Hai góc đối này bù nhau nên tứ giác ABNM là tứ giác nội tiếp.

Câu b.
Góc MDC = 90˚, vì là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm I, tức tam giác DBC vuông tại D. Dễ chứng minh được hai tam giác vuông ∆DBC và ∆NBM đồng dạng, nên góc DCN = góc NMB. Vì tứ giác DCNM là tứ giác nội tiếp nên góc DCN + góc DMN = 180˚. Vậy góc NMB + góc DMN = 180˚, suy ra ba điểm B, M, D cùng nằm trên cùng một đường tròn.

Câu c.
Ta có AB² = BC² - AC² = (2R)² - (4r)².

Vì OI song song với BM, nên EI song song BD. Chúng ta rút ra tỷ lệ: \[\frac{AM}{AI}=\frac{AB}{AE} \Leftrightarrow \frac{2r}{3r}=\frac{AB}{AE} \Rightarrow AB=\frac{2}{3}AE\].

Vậy,

EM² = AM² + AE²
⇔ EM² = (2r)² + (3/2.AB)²
⇔ EM² = 4r² + 9/4.(4R² - 16r²)
⇔ EM² = 4r² + 9R² - 36r²
⇔ EM² = 9R² - 32r²​

EM = √(9R² - 32r²).