Có thể giúp nêu cách giải tổng quát bài toán hình học này không:
Trong không gian Oxyz, cho một đường thẳng d và một điểm M cho trước. Viết phương trình mặt phẳng P chứa d và khoảng cách từ M đến P bằng một giá trị cho trước.
Cám ơn rất nhiều.
Giả sử đường thẳng đã cho có phương trình tham số:
\[\Delta :\qquad \left{ x=x_o+at \\ y=y_o+bt \\ z=z_o+ct\] và điểm \[M(x_1;y_1;z_1)\]
Bạn có thể giải bài toán này qua các bước sau:
*Bước 1: Giả sử phương trình của mặt phẳng cần dựng là \[(\alpha ):\qquad Ax+By+Cz+D=0\]
*Bước 2:
Khi đó \[\Delta\] nằm trên \[(\alpha )\Leftrightarrow A(x_o+at)+B(y_o+bt)+C(z_o+ct)+D=0\qquad \forall t\in R\]
\[\Leftrightarrow (A.a+B.b+C.c)t+(A.x_o+B.y_o+C.z_o+D)=0\quad \forall t\in R\]
\[\Leftrightarrow \left{ A.a+B.b+C.c=0\qquad (1) \\ A.x_o+B.y_o+C.z_o+D=0 \qquad (2)\]
*Bước 3:
Mặt khác vì \[M\] cách \[(\alpha )\] một khoảng các cho trước \[d\] nên:
\[d=d_{(M,(\alpha ))}=\frac{|A.x_1+B.y_1+C.z_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\qquad (3)\]
Từ \[(1),(2),(3)\] ta lập được hệ phương trình đối với 4 ẩn \[A,B,C,D\]. Giải hệ này ta có phương trình của mặt phẳng \[(\alpha )\] theo yêu cầu đầu bài.
Chú ý: Trong các bài toán cụ thể, các đường thẳng \[\Delta\], điểm \[M\] và khoảng cách \[d\] thường có chút đặc biệt nên việc gải hệ phương trình sẽ không gặp khó khăn nhiều (nhiều bạn thường sợ vì hệ phương trình chỉ có 3 phương trình và có tới 4 ẩn nên không dám làm). Bạn chú ý cẩn thận trong các phép tính toán thì sẽ không có gì khó khăn lắm.
