Bài toán chứng minh tính chia hết

[dacsang97]

Cho \[a, b, c \epsilon Z\] thỏa mãn a+b+c = (a-b)(b-c)(c-a)
CMR :\[ M= {(a-b)}^{3} + {(b-c)}^{3} + {(c-a)}^{3}\] Chia hết cho 81

 

[bomkute1996th]

Cho \[a, b, c \epsilon Z\] thỏa mãn a+b+c = (a-b)(b-c)(c-a)
CMR :\[ M= {(a-b)}^{3} + {(b-c)}^{3} + {(c-a)}^{3}\] Chia hết cho 81

 

[Toantu]

Cho \[a, b, c \epsilon Z\] thỏa mãn a+b+c = (a-b)(b-c)(c-a)
CMR :\[ M= {(a-b)}^{3} + {(b-c)}^{3} + {(c-a)}^{3}\] Chia hết cho 81

Giả sử trong 3 số a,b,c không có 2 số nào đồng dư trong phép chia cho 3 =>a+b+c chia hết cho 3
Suy ra (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 3=> tồn tại 1 hiệu chia hết cho 3=> vô lí vì a,b,c không cùng số dư khi chia cho 3
Như vậy phải tồn tại hai trong ba số a,b,c đồng dư khi chia cho 3
Nhưng do a+b+c chia hết cho 3 nên cả a,b,c đều đồng dư trong phép chia cho 3
Suy ra (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27

Lạicó: \[ M= {(a-b)}^{3} + {(b-c)}^{3} + {(c-a)}^{3}\]
\[= [(a-b)+(b-c)+(c-a)][{(a-b)}^{2}+{(b-c)}^{2}+{(c-a)}^{2}-(a-b)(b-c)-(b-c)(c-a)-(c-a)(a-b)]+3(a-b)(b-c)(c-a)\]
\[=3(a-b)(b-c)(c-a)\]

Vậy M chia hết cho 81

 

[dangbn]

mấy bài toán gà wa

 

[haiyenvansi]

sao lại thế nhỉ?