Bài tập tiếp tuyến hàm đa thức

[huyenminh]

cho đồ thị (\[C) :\qquad y=\frac{3x+1}{x-3}\] và điểm \[M\] bất kì thuộc \[(C)\]. gọi \[I\] là giao của 2 tiệm cận. tiếp tuyến tại \[M\] cắt 2 tiệm cận tại \[A,B\]. CMR:

M là trung điểm \[A,B\]

lời giải:
đt (C) có TCĐ:x=3 TCN:y=3

lấy điểm M bất kì \[(3+m;\frac{3m+10}{m})\] thuộc (C) (m khác 0). tiếp tuyến tại M có dạng...

tớ mún hỏi tại sao chọn M như vậy

 

[NguoiDien]

cho đồ thị (\[C) :\qquad y=\frac{3x+1}{x-3}\] và điểm \[M\] bất kì thuộc \[(C)\]. gọi \[I\] là giao của 2 tiệm cận. tiếp tuyến tại \[M\] cắt 2 tiệm cận tại \[A,B\]. CMR:

M là trung điểm \[A,B\]

lời giải:
đt (C) có TCĐ:x=3 TCN:y=3

lấy điểm M bất kì \[(3+m;\frac{3m+10}{m})\] thuộc (C) (m khác 0). tiếp tuyến tại M có dạng...

tớ mún hỏi tại sao chọn M như vậy

Đạo hàm của hàm số: \[y'=\frac{10}{(x-m)^2}\]

Do đó tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \[M(x_o;y_o)\] có phương trình dạng:

\[y=\frac{10}{(x_o -3)^2}.(x-x_o)+\frac{3x_o +1}{x_o -3}\]

Do đó, để đơn giản mẫu số (cho mẫu số gọn hơn để dễ tính toán sau này) thì chọn \[x_o=3+m\]. Khi đó \[x_o-3=m\] và \[y_o=\frac{3m+10}{m}\]. Bạn sẽ thấy phương trình tiếp tuyến là:

\[y=\frac{10}{m^2}(x-3-m)+\frac{3m+10}{m}\].

Thực ra việc lấy tọa độ \[M\] như vậy chỉ là phục vụ việc nhìn và thao tác gọn hơn mà thôi.