với n=1 hiển nhiên mệnh đề đúng.với \[n\geq 2\]thì \[{625}^{n}-625=625\left({625}^{n-1} -1\right)\]chia hết cho 625*624=390000 nên \[{625}^{n}-625\]chia hết cho 1000 do đó \[{625}^{n}\]phải tận cùng bằng 625. giả sử có số \[\overline{abc}=x\\]thỏa mãn mệnh đề thì ĐK cần là \[{c}^{2}\]tận cùng bằng c\[\Rightarrow c=0,1,5,6\]với n=2, để \[\[\overline{abc}\]\]thỏa mãn mệnh đề thì \[\[\overline{abc}\]^{2}-\[\overline{abc}\]\]chia hết cho 1000. với c=0 thì \[\[\overline{abc}\]-1\\]tận cùng=9 nên nguyên tố cùng nhau với 2 và 5 nên nguyên tố cùng nhau với 1000 \[[\Rightarrow [\overline{abc}\]\]\] chia hết cho 1000. vô lí.nếu c=1 thì \[\[\overline{abc}\]\]tận cùng=1 nguyên tố cùng nhau với 1000\[\[\Rightarrow \[\overline{abc}\]-1\]\]chia hết cho 1000.vô lí.
Nếu c=5,6. Ta có \[{x}^{2}-x=1000n,{625}^{2}-625=1000m\Rightarrow {x}^{2}-{625}^{2}+625-x=1000(n-m)\Leftrightarrow \left(x-625 \right)\left(x+624 \right)=1000(n-m)\]với \[n,m\in N\].c=5 thì x+624 tận cùng=9 nên nguyên tố cùng nhau với 1000 nên x-625 chia hết cho 1000. vô lí. nếu c=6 thì x-625 tận cùng =1 nguyên tố cùng nhau với 1000 nên x+624 chia hết cho 1000=>x=376. nên 376 thỏa mãn mệnh đề đặt ra.
