Chào mừng Bạn tham gia Diễn Đàn VNKienThuc.com - Định hướng Forum Kiến Thức
- HÃY TẠO CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC HỮU ÍCH VÀ CÙNG NHAU THẢO LUẬN
Kết nối: VNK X - VNK groups | Nhà Tài Trợ: BhnongFood X - Bhnong groups - Đặt mua Bánh Bhnong

Trả lời chủ đề

Nội dung: <blockquote data-quote="luatdhv" data-source="post: 82545" data-attributes="member: 46565">Bài toán: Cho đường tròn \[(O)\] đường kính \[AB\]. \[P\] là một điểm trên tiếp tuyến của \[(O)\] tại \[B \; (P \ne B)\]. Đường thẳng \[AP\] cắt \[(O)\] lần thứ hai tại \[C\]. \[D\] là điểm đối xứng với \[C\] qua \[O\]. Đường thẳng \[DP\] cắt \[(O)\] lần thứ hai tại \[E\]. Chứng minh rằng \[AE,BC,PO\] đồng quy.<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_02Mar241332-1.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Lời giải 1: (Định lý Ceva - Bộ GD&ĐT)<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_09Mar241459.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> <img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_01Mar241319.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Lời giải 2: (PP Tọa độ)<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_08Mar241452.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Không mất tính tổng quát giả sử \[R=1\]. Gắn cho nó hệ \[Oxy\] mà \[B=(0;0); O=(1;0); A=(2;0); P(0;p)\].+) Viết phương trình \[PA\], lấy giao với \[(O)\] được:\[C=(\frac{2p^2}{p^2+4};\frac{4p}{p^2+4})\]+) Trung điểm của \[CD\] là \[O\] nên:\[D=(\frac{8}{p^2+4};\frac{-4p}{p^2+4})\]+) Viết được phương trình của \[BC\] và \[OP\] lấy giao được:\[I=(\frac{p^2}{p^2+4};\frac{2p}{p^2+2})\]+) Viết được phương trình của \[AI\] và \[DP\] lấy giao được:\[J=(\frac{8p^2}{p^4+12p^2+16};\frac{4p(p^2+4)}{p^4+12p^2+16})\]+) Nhận ra:\[x_J^2+y_J^2=\frac{4p(p^2+4)}{p^4+12p^2+16}\)=2x_J\]Do vậy \[J \in (O)\].Từ đó câu a được chứng minh xong.Lời giải 3: (Định lý ceva dạng sin của bạn binhdt_lvt)<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_02Mar241332-1.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Ta có:\[x=\frac{sin\widehat{CAE}}{sin\widehat{EAB}} = \frac{CE}{BE}\]\[y=\frac{sin\widehat{ABC}}{sin\widehat{CBP}} = \frac{AC}{BC}\]\[z=\frac{sin\widehat{OPB}}{sin\widehat{OPA}} = \frac{AB}{BC}\]\[\Rightarrow xyz=\frac{CE.AB}{BE.PC}\]Mà \[CE.AB=BE.PC\]\[  ( \]do \[\widehat{CPE}=\widehat{EAB}\] \[)\]Vì vậy theo Định lí Ceva dạng sin ta có điều phải chứng minh.Lời giải 4: (PP Tọa độ, không rõ nguồn)<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_10Mar241500.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> <img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_11Mar241502.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" /> Dễ thấy \[\vec{AM},\vec{AE}\] cùng phương nên \[A,M,E\] thẳng hàng, đpcm.Lời giải 5: (Định lý Pascan)<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_06Mar241401.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Xét lục giác \[ABBCDE\] có:\[\begin{align}   & AB\cap CD=O \\ & BB\cap DE=P \\ & BC\cap AE=I \\ \end{align}\]Do vậy \[O,P,I\] thẳng hàng, suy ra đpcm.Lời giải 6: (trục đẳng phương_shinomoriaoshi)<img src="https://i1021.photobucket.com/albums/af335/luatdhv/ScreenHunter_07Mar241415.gif" alt="" class="fr-fic fr-dii fr-draggable " data-size="" style="" />Ta có \[\hat{OAE}=\hat{APE}\] và \[\hat{OBC}=\hat{CPB}\]. Do đó:\[PO\] là trục đẳng phương của \[(PAE)\] và \[(PBC)\].Mặt khác\[BC\] là trục đẳng phương của \[(O)\] và \[(PBC)\]\[AE\] là trục đẳng phương của \[(PAE)\] và \[(O)\]Vậy \[PO, BC, AE\] đồng quy tại tâm đẳng phương của 3 đường tròn trên, đpcm.PS: Mong các bạn cho ý kiến bổ sung.</blockquote>

Tên

Mã xác nhận