Đấu Trường Toán Đại Số

[yezterday]

Theo phong trào mở đấu trường của diễn đàn Kiến Thức. Có lẽ, đây là một ý kiến hay để phát triển diễn đàn, cũng như nâng cao hiểu biết, tăng cường kĩ năng cho tất cả thành viên/học sinh diễn đàn. Do vậy, Yezterday mạo muội mở một bài viết như thế để chúng ta cùng nhau trau dồi. Mong anh NguoiDien cho phép và giám sát bài viết này, hy vọng anh sẽ giúp chúng em giải quyết những bài phức tạp

Okie, câu hỏi lần này đơn giản thôi:

Cho dãy số (\[U_n\]) xác định bởi: \[U_1=\frac{1}{2}\] và \[U_n = U_{n-1} + 2n\] với mọi \[n >= 2\]. Khi đó \[U_{50}\] bằng bao nhiêu?

 

[Maihoaca]

Bài giải:
Ta có U[SUB]n[/SUB]=U[SUB]n-1[/SUB]+2n nên:
........................U[SUB]1[/SUB]=1/2
........................U[SUB]2[/SUB]=U[SUB]1[/SUB]+2.2
........................U[SUB]3[/SUB]=U[SUB]2[/SUB]+2.3
..................
....................
......................
........................U[SUB]n-1[/SUB]=U[SUB]n-2[/SUB]+2(n-1)
........................U[SUB]n[/SUB]=U[SUB]n-1[/SUB]+2n
_______________________________________________________
Cộng vế+vế:U[SUB]n[/SUB]=1/2+2(2+3+4+...........+n)
\sr U[SUB]n[/SUB]=1/2+2.(n+2).(n-1)/2=(n+2).(n-1) +1/2
số thứ 50 là:U[SUB]50[/SUB]=(50+2)(50-1)+1/2=5097/2

 

[liti]

Bà Maihoaca ra câu hỏi típ đi chứ

 

[Maihoaca]

Một bài cũng dê dễ nha' mọi người
Đề bài :
Hãy xét tính đơn điệu của dãy số \[X_n\] sau thỏa mãn:
\[0<X_n<1\] và X[SUB]n+1[/SUB](1-X[SUB]n[/SUB]) \lb1/4
với mọi \[n\in N\]

 

[kastryas]

Một bài cũng dê dễ nha' mọi người
Đề bài :
Hãy xét tính đơn điệu của dãy số \[X_n\] sau thỏa mãn:
\[0<X_n<1\] và X[SUB]n+1[/SUB](1-X[SUB]n[/SUB]) \lb1/4
với mọi \[n\in N\]

Có:
\[x_{n+1}=x_n+\frac{\left(x_{n+1}(1-x_n)-\frac{1}{4}\right)+\left(x_n-\frac{1}{2}\right)^2}{1-x_n}\ge x_n\] vì thế dãy không giảm! HẾT.

 

[kastryas]

Theo phong trào mở đấu trường của diễn đàn Kiến Thức. Có lẽ, đây là một ý kiến hay để phát triển diễn đàn, cũng như nâng cao hiểu biết, tăng cường kĩ năng cho tất cả thành viên/học sinh diễn đàn. Do vậy, Yezterday mạo muội mở một bài viết như thế để chúng ta cùng nhau trau dồi. Mong anh NguoiDien cho phép và giám sát bài viết này, hy vọng anh sẽ giúp chúng em giải quyết những bài phức tạp

Okie, câu hỏi lần này đơn giản thôi:

Có:
\[u_n=u_{n-1}+2n\]
\[n^2+n=(n-1)^2+(n-1)+2n\]
Trừ vế cho vế và đặt \[v_n=u_n-(n^2+n)\] có luôn \[v_n=v_{n-1}\] điều này thông báo dãy \[v_n\] là dãy hằng! tức \[v_n=v_1=-\frac{3}{2}\] để có \[u_n=v_n+n^2+n=n^2++n-\frac{3}{2}\]. HẾT!

 

[Maihoaca]

Bạn kastryas giải đúng rồi mình xin đưa ra cách giải thứ 2 của mình như sau:
Do đk đầu bài nên X[SUB]n+1[/SUB]và (1-X[SUB]n[/SUB]) là 2 số dương áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số ko âm ta có
X[SUB]n+1[/SUB]+(1-X[SUB]n[/SUB]) \lb 2\[sqrt{X_{n+1}.(1-X_{n})\] \lb 2.\[sqrt{1/4}\]=1
Hay X[SUB]n+1[/SUB]+1-X[SUB]n[/SUB]\lb 1
\sr X[SUB]n+1[/SUB]-X[SUB]n[/SUB]\lb 0
\sr X[SUB]n+1[/SUB]\lb X[SUB]n[/SUB]
vậy dãy trên tăng

 

[Maihoaca]

Xin mời bạn đưa ra câu hỏi tiếp theo

 

[kastryas]

Xin mời bạn đưa ra câu hỏi tiếp theo

OK!
Bài Toán
Chứng minh rằng: \[\sum_{k =1 }^n k^{2m+1};\;m\in\mathbb{N}\] là 1 đa thức của \[x=\frac{n(n+1)}{2}\].