Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé:
Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x, y,z thuộc [-1;3] và x+y+z=3. Chứng minh rằng x^2+y^2+z^2 ≤ 11
Giúp mình nhé khó quá!
Cảm ơn các bạn nhiều!
Mình gặp thằng em thi vào THPT nhờ giải bài này mà khó quá, anh em giúp nhé
Cảm ơn nhiều!
Không mất tính tổng quát, giả sử \[3\geq x\geq y\geq z\geq -1\]
Xét các Trường hợp:
*\[1\geq x\geq y\geq z\geq -1\]
\[\Rightarrow x+y+z\leq 3\]
Mà x+y+z=3(gt)
\[\Rightarrow x=y=z=1\]
\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3<11\]
*\[3\geq x\geq 1\geq y\geq z\geq -1\]
\[\Rightarrow {x}^{2}\leq 9\]
\[{y}^{2}\leq 1\]
\[{z}^{2}\leq 1\]
\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq 11\]
*\[3\geq x\geq y\geq 1\geq z\geq -1\]
Vì \[1\geq z\geq -1 \Rightarrow {z}^{2}\leq 1(1)\]
Vì \[3\geq x\geq y\geq 1 \Rightarrow (x-3)(x-1)\leq 0\]
\[\Rightarrow {x}^{2}\leq 4x-3\]
Tương tự \[{y}^{2}\leq 4y-3\]
\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}\leq 4(x+y)-6\]
Mà \[x+y+z=3\]
\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}\leq 4(3-z)-6\]
\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}\leq 6-4z\leq 6-4.(-1)\leq 10(2)\]
Từ (1) và (2)\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq 11\]
*\[3\geq x\geq y\geq z\geq 1\]
\[\Rightarrow x+y+x\geq 3\]
Mà\[ x+y+z=3\]
\[\Rightarrow x=y=z=1\]
\[\Rightarrow {x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=3<11\]
Vậy trong mọi trường hợp ta đều có \[{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}\leq 11\]
