Ai giải hộ bài này cái

[avatar avatar]

Cho

CMR:

 

[Võ Long Trường]

Gọi vế trái của bất đẳng thức là A.
Sau đó, chúng ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần để chứng minh, như sau:

\[\frac{A}{3}\leq \sqrt[3]{\frac{1}{(1+a)(1+b)(1+c)}}\Leftrightarrow A\leq \frac{3}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq \frac{3}{\frac{3+(a+b+c)}{3}}=\frac{3}{1+\frac{a+b+c}{3}}(1)\]

Vì \[abc\leq 1\] nên \[\sqrt[3]{abc}\leq 1\], ta có:

\[2\geq 1+\sqrt[3]{abc}\geq 1+\frac{a+b+c}{3} \Rightarrow \frac{3}{2}\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}\leq \frac{3}{1+\frac{a+b+c}{3}}(2)\]

Vì a, b, c đều là số dương nên chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức: \[(1+a)(1+b)(1+c)\geq 8\] .

Nên \[\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}\geq 2 \Rightarrow \frac{3}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}\leq \frac{3}{2}(3)\]

Từ (1), (2) và (3), chúng ta kết luận \[A\leq \frac{3}{1+\sqrt[3]{abc}}\].