Tính chất ba đường trung trực của tam giác - Nguồn: vnschool.net
1. Đường trung trực của tam giác
Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh gọi là đường trung trực của tam giác đó.
Trong hình 47, a là đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
Mỗi tam giác có ba đường trung trực.
Nhận xét :
Trong một tam giác bất kì, đường trung trực của một cạnh không nhất thiết đi qua đỉnh đối diện với cạnh ấy. Tuy nhiên, trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy luôn đi qua đỉnh đối diện với cạnh đó. Ta có tính chất :
Trong một tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh này.
?1 Em hãy vẽ hình, viết giả thiết, kết luận và chứng minh tính chất trên.
2. Tính chất ba đường trung trực của tam giác.
?2
Dùng thước và compa, dựng ba đường trung trực của một tam giác (xem mục 3, bài 7). Em có nhận thấy ba đường này cùng đi qua một điểm không ?
Định lí sau sẽ cho em biết mình vẽ hình có chính xác không.
Định lí
Tương tự như chứng minh định lí về tính chất ba đường phân giác của tam giác trong bài 6, ta có thể chứng minh định lí này theo cách sau : Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực ứng với cạnh AB và AC của tam giác ABC. Ta sẽ chứng minh O cũng nằm trên đường trung trực ứng với cạnh BC của tam giác đó và OA = OB = OC (h. 48).
Chứng minh :
Vì O nằm trên đường trung trực b của đoạn thẳng AC nên
OA = OC (1)
Vì O nằm trên đường trung trực c của đoạn thẳng AB nên
OA = OB (2)
Từ (1) và (2) suy ra :
OB = OC ( = OA),
do đó điểm O nằm trên đường trung trực của cạnh BC (theo tính chất đường trung trực).
Vậy ba đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O và ta có :
OA = OB = OC.
Chú ý:
Vì giao điểm O của ba đường trung trực của tam giác ABC cách đều ba đỉnh của tam giác đó nên có một đường tròn tâm O đi qua ba đỉnh A, B, C. Ta gọi đường tròn đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (h. 49).
Bài tập
52. Chứng minh định lí : Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường trung trực ứng với cùng một cạnh thì tam giác đó là một tam giác cân.
53. Ba gia đình quyết định đào chung một cái giếng (h. 50). Phải chọn vị trí của giếng ở đâu để các khoảng cách từ giếng đến các nhà bằng nhau ?
Luyện tập
54. Vẽ đường tròn đi qua ba đỉnh của tam giác ABC trong các trường hợp sau :
55. Cho hình 51.
Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng.
56. Sử dụng bài 55 để chứng minh rằng : Điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền của tam giác đó.
Từ đó hãy tính độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông theo độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông.
57. Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy (h. 52). Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền này ?
