Nhân có bạn hỏi bài toán tìm giới hạn
. Đã lâu không nhớ đến việc áp dụng quy tắc L’Hopitan để tìm giới hạn. Toán THPT xin chia sẻ một chút kiến thức mình biết về phương pháp này với các bạn đọc.
Trong các bài toán tìm giới hạn dạng
, ta thường gặp giới hạn dạng vô định
. Thông thường ta sẽ tìm cách triệt tiêu dạng này bằng cách biến đổi và khử thừa số ở tử và mẫu số. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán ta không thể biến đổi để triệt tiêu được thì quy tắc L’Hopitan là một phương pháp khả thi.
Nội dung quy tắc L’Hopitan:
Giả sử
và
là hai hàm số thỏa mãn:
hoặc
và giả sử tồn tại
thì
Điều kiện tồn tại
là rất cần thiết. Nếu không tồn tại giới hạn này thì ta không thể áp dụng quy tắc này được.
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn:
1.
2.
3.
4.
Lời giải:
1. Ta thấy
,
và hai hàm số
và
đều có đạo hàm tại một khoảng chứa
. Khi đó ta có:
Nhận thấy rằng giới hạn
vẫn ở dạng vô định, ta có thể đạo hàm một lần nữa:
.
2. Như trên, ta cũng có:
3. Ta có:
4. Ta có:
Chú ý: Trong các bài toán tìm giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L’Hoppitan. Nhiều khi giới hạn
cũng vẫn là dạng vô định. Khi đó ta có thể áp dụng quy tắc L’Hopitan nhiều lần trong cùng một bài toán.
Việc áp dụng quy tắc L’Hopitan vẫn có thể áp dụng đối với giới hạn một bên. Việc khôn khéo biến đổi biểu thức cần tìm giới hạn thành dạng
thỏa mãn các điều kiện của quy tắc L’Hopitan đòi hỏi những kỹ năng quan sát và phán đoán tốt. Do đó cần rèn luyện thường xuyên các phép biến đổi biểu thức, đặc biệt là các biến đổi liên quan đến lượng giác, mũ và Logarit.
Ví dụ 2:
Tìm giới hạn sau:
.
Lời giải:
Ta có
.
Chú ý: Trong nhiều trường hợp các dạng vô định khác (
…) ta khôn khéo biến đổi đưa về dạng
hoặc
để giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.
Trở lại với bài toán tìm
ta có:
Trong các bài toán tìm giới hạn dạng
Nội dung quy tắc L’Hopitan:
Giả sử
và giả sử tồn tại
thì
Điều kiện tồn tại
Ví dụ 1: Tìm các giới hạn:
1.
2.
3.
4.
Lời giải:
1. Ta thấy
Nhận thấy rằng giới hạn
2. Như trên, ta cũng có:
3. Ta có:
4. Ta có:
Chú ý: Trong các bài toán tìm giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L’Hoppitan. Nhiều khi giới hạn
Việc áp dụng quy tắc L’Hopitan vẫn có thể áp dụng đối với giới hạn một bên. Việc khôn khéo biến đổi biểu thức cần tìm giới hạn thành dạng
Ví dụ 2:
Tìm giới hạn sau:
Lời giải:
Ta có
Chú ý: Trong nhiều trường hợp các dạng vô định khác (
Trở lại với bài toán tìm