• HÃY CÙNG TẠO & THẢO LUẬN CÁC CHỦ ĐỀ KIẾN THỨC [Vn Kiến Thức] - Định hướng VnKienthuc.com
    -
    Mọi kiến thức & Thông tin trên VnKienthuc chỉ mang tính chất tham khảo, Diễn đàn không chịu bất kỳ trách nhiệm liên quan
    - VnKienthuc tạm khóa đăng ký tài khoản tự động để hạn chế SEO bẩn, SPAM, quảng cáo. Chưa đăng ký, KHÁCH vẫn có thể đọc và bình luận.

Áp dụng quy tắc L’Hopital để tìm giới hạn

NguoiDien

Người Điên
Xu
0
Nhân có bạn hỏi bài toán tìm giới hạn
quicklatex.com-e9a221bbe78a728448ab84a23af6f723_l3.png
. Đã lâu không nhớ đến việc áp dụng quy tắc L’Hopitan để tìm giới hạn. Toán THPT xin chia sẻ một chút kiến thức mình biết về phương pháp này với các bạn đọc.


Trong các bài toán tìm giới hạn dạng
quicklatex.com-22ef90cd9e5f4fc35be649c2c79e36e0_l3.png
, ta thường gặp giới hạn dạng vô định
quicklatex.com-a5338a5bbd691cbee3939005272da56d_l3.png
. Thông thường ta sẽ tìm cách triệt tiêu dạng này bằng cách biến đổi và khử thừa số ở tử và mẫu số. Tuy nhiên, trong nhiều bài toán ta không thể biến đổi để triệt tiêu được thì quy tắc L’Hopitan là một phương pháp khả thi.


Nội dung quy tắc L’Hopitan:


Giả sử
quicklatex.com-500e17d0575dd2fdafbf14277807cc18_l3.png
quicklatex.com-2280882a00a6454e46b3563a66605885_l3.png
là hai hàm số thỏa mãn:


quicklatex.com-0464c67da6505b9a096583eb3ad3bb4c_l3.png
hoặc


quicklatex.com-72238acb23a6507323ba25d2095e9d5f_l3.png



và giả sử tồn tại
quicklatex.com-6d43544272025343480356d465b18992_l3.png



thì
quicklatex.com-2d37a828912a9b35aefe677099135c14_l3.png



Điều kiện tồn tại
quicklatex.com-22ef90cd9e5f4fc35be649c2c79e36e0_l3.png
là rất cần thiết. Nếu không tồn tại giới hạn này thì ta không thể áp dụng quy tắc này được.


Ví dụ 1: Tìm các giới hạn:


1.
quicklatex.com-e9b3017e15b5ff6cda8dec1d02db95f6_l3.png



2.
quicklatex.com-2dacd3f489e0a356282d1da8502a58a3_l3.png



3.
quicklatex.com-511a00b233dd3f1ae57ca9a8a23abb96_l3.png



4.
quicklatex.com-72f103ae7f96f00fb3afbe5512613f57_l3.png



Lời giải:

1. Ta thấy
quicklatex.com-a16ab91c038b71df1802d38d9c221f78_l3.png
,
quicklatex.com-d10778ef9223581c6316f3c51a5cccc3_l3.png
và hai hàm số
quicklatex.com-cf0767e01bfecb02d527fc4602c581a3_l3.png
quicklatex.com-893ab845e793db417d3ad2f3ffcaac67_l3.png
đều có đạo hàm tại một khoảng chứa
quicklatex.com-76772568147e6573de2727224b84c622_l3.png
. Khi đó ta có:


quicklatex.com-b7357812a8860239d75e70936e52c1f0_l3.png



Nhận thấy rằng giới hạn
quicklatex.com-3b9fdb075830e99e3d6ae166d54c7512_l3.png
vẫn ở dạng vô định, ta có thể đạo hàm một lần nữa:


quicklatex.com-3d91c9b165f9b3114ea5c9367742446d_l3.png



quicklatex.com-c4d00517fa00cde334dcb6365d7ad3d5_l3.png
.


2. Như trên, ta cũng có:


quicklatex.com-234d706791db23b8b8cda58b2d1b81cf_l3.png



quicklatex.com-dc9996e44e635648410f5483bbf81b52_l3.png



quicklatex.com-e1a3a3b1a4aaab5c6f08f449eec21ee6_l3.png



3. Ta có:


quicklatex.com-19fd3ad5b224f5c5ff7eeff5b339dc40_l3.png



quicklatex.com-2a0a4d9d9ce1d485a88f511f2c04017e_l3.png



4. Ta có:


quicklatex.com-683ef82b567d8d32bff8e8dc3d308b4c_l3.png



quicklatex.com-4ce4275ec8e094b6b10eb12f46a9ccf9_l3.png



quicklatex.com-10ba9cb7602b1036748ad379aac64a85_l3.png



Chú ý: Trong các bài toán tìm giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L’Hoppitan. Nhiều khi giới hạn
quicklatex.com-9f3a3687270381aea7fdb292bd4e1311_l3.png
cũng vẫn là dạng vô định. Khi đó ta có thể áp dụng quy tắc L’Hopitan nhiều lần trong cùng một bài toán.


Việc áp dụng quy tắc L’Hopitan vẫn có thể áp dụng đối với giới hạn một bên. Việc khôn khéo biến đổi biểu thức cần tìm giới hạn thành dạng
quicklatex.com-aa728c6053179e9673c5f0eaa5a1d3bb_l3.png
thỏa mãn các điều kiện của quy tắc L’Hopitan đòi hỏi những kỹ năng quan sát và phán đoán tốt. Do đó cần rèn luyện thường xuyên các phép biến đổi biểu thức, đặc biệt là các biến đổi liên quan đến lượng giác, mũ và Logarit.


Ví dụ 2:

Tìm giới hạn sau:
quicklatex.com-5bb74181df639cf1e5928bddb2294831_l3.png
.


Lời giải:

Ta có


quicklatex.com-0a4b341cacfa5062a084f7da25666e3a_l3.png



quicklatex.com-a0295a66b08c1e668cb815f18f1738a9_l3.png



quicklatex.com-790942dd98f016f7d9c51618f1dd3bda_l3.png



quicklatex.com-e6f7832dd3a06fa7b23559c17bbd48d0_l3.png



quicklatex.com-258b559d79cff26962c26f79c130ec47_l3.png
.


Chú ý: Trong nhiều trường hợp các dạng vô định khác (
quicklatex.com-6f3ac503e2eba7fa8da1699151ece186_l3.png
…) ta khôn khéo biến đổi đưa về dạng
quicklatex.com-a5338a5bbd691cbee3939005272da56d_l3.png
hoặc
quicklatex.com-20039b4befa602a2595fcfd10f5d7815_l3.png
để giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn.


Trở lại với bài toán tìm
quicklatex.com-e9a221bbe78a728448ab84a23af6f723_l3.png
ta có:


quicklatex.com-c21db14db88510d4c1c10cc6bcddde31_l3.png



quicklatex.com-71d94cfcf4b42b5a6db33ce10d882927_l3.png



quicklatex.com-7fe8972a32ec9711f02764e1cdc3af3b_l3.png
 
CHAT
  1. No shouts have been posted yet.

Chủ đề mới

VnKienthuc lúc này

Không có thành viên trực tuyến.

Định hướng

Diễn đàn VnKienthuc.com là nơi thảo luận và chia sẻ về mọi kiến thức hữu ích trong học tập và cuộc sống, khởi nghiệp, kinh doanh,...
Top